LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001

ZADANIA KONKURSOWE ETAPU IV
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 6

W trójkącie poprowadzono środkową AM i dwusieczną BN. Wyznaczyć pole trójkąta ABC, jeśli środkowa i dwusieczne są wzajemnie prostopadłe oraz |AM|=a i |BN|=b.

Rozwiązanie

Oznacznia

|AM| = a i |BN|=b

|BM| = |MC| = x

|ĐABN| = |ĐNBM| = L

D - punkt przecięcia BN i AM

BN ^ AM

Trójkąty ABD i BDM są przystające ponieważ mają wspólny bok BD i przystające kąty do nich przylegające: |ĐABD| = |ĐDBM| = L oraz |ĐBDA| = |ĐBDM| = 90°.

Wynika stąd, że |AB| = x i |AD| = |DM| = ½ a.

Pole trójkąta BNA jest równe ½|BN|*|AD| = ½*b*½a

Pole trójkąta BNM jest równe ½|BN|*|DM| = ½*b*½a

Pole trójkata MCN jest równe polu trójkata BMN, ponieważ trójkąty te  mają podstawę tej samej długości x i wspólną wysokość wychodzącą z wierzchołka N.

Teraz możemy policzyć pole trójkąta ABC.

PABC=PBNA+PBNM+PMCN = ½*b*½a+½*b*½a+½*b*½a=¾*a*b

Odpowiedź

Pole trójkąta ABC równa się ¾*a*b

Karolina Kapica kl.1a